Wie wirklich ist die Wirksamkeit?

Einführung

Oder war es eher: wie wirksam ist die Wirklichkeit? Nein, wie wirklich ist die Wirklichkeit? Jetzt aber: Was ist denn Wirksamkeit wirklich?

Man stelle sich ein Experiment vor mit einer bestimmten Anzahl an Personen. 50% der Personen befinden sich in der Experimentalgruppe (Impfung) und 50% in der Kontrollgruppe (keine Impfung). Nach einer bestimmten Zeitspanne wird geschaut wie viele sich angesteckt haben.

Wenn es in der Kontrollgruppe 100 Infizierte gab und wir die Wirksamkeit in % als \(W\) bezeichnen, dann ergibt sich die Anzahl der Infizierten in der Experimentalgruppe als:

\[100 - W \] Beispiel: 100 Infizierte bei den nicht-geimpften und eine Wirksamkeit von 90%, bedeutet, dass man 10 Infizierte bei den geimpften erwarten würde (man beachte, dass es gleiche viel geimpfte und nicht-geimpfte gibt). Bekommt man also eine Wirksamkeit mitgeteilt, kann man sofort \(100 - \mathrm{Wirksamkeit}\) rechnen und hat eine gute Vorstellung davon was das bedeutet.

Ein kleiner Test: Die Wirksamkeit eines Impfstoffs beträgt 46%, wie viele Infizierte sind in Experimentalgruppe zu erwarten, wenn es in der Kontrollgruppe 1000 Infizierte gab (bei gleichgroßen Gruppen)?

Kennt man die Gesamt-Anzahl der Infizierten \(I\) und die Wirksamkeit \(W\) in % so lässt sich berechnen wie viele Infizierte es in der Kontrollgruppe (\(K\)) und wie viele Infizierte es in der Experimentalgruppe (\(E\)) gab.

\[K = 100I/(200-W)\] \[E = I - K\] Für das Beispiel bei Unstatistik (https://www.rwi-essen.de/unstatistik/109/) mit 90% Wirksamkeit (\(W\)) und 94 bestätigten Infektionen (\(I\)):

100 * 94 / (200 - 90)
## [1] 85.45455

94 - 100 * 94 / (200 - 90)
## [1] 8.545455

Mehr muss man zur Wirksamkeit nicht wissen, aber wen es interessiert, findet im folgenden Abschnitt eine ausführlichere Erklärung.

Formel für Wirksamkeit

\[ (1 - E/K) 100 = W\]

\(W\) ist Wirksamkeit in %, \(E\) ist die Anzahl der Infizierten in der Experimentalgruppe (geimpft), \(K\) ist die Anzahl der Infizierten in der Kontrollgruppe (nicht geimpft).

Um die Wirksamkeit von z. B. 90% zu veranschaulichen überlegen wir uns denn hypothetischen Fall, dass es 100 Infizierte in der Kontrollgruppe gab, wie viele gab es dann in der Experimentalgruppe?

\[ (1 - E/100) 100 = 90\] \[ 100 - E = 90\] \[ E = 100 - 90 = 10\] Auf 100 Infizierte in der Kontrollgruppe kommen nur 10 Infizierte in der Experimentalgruppe.

Allgemein (für 100 Infizierte in der Kontrollgruppe):

\[ E = 100 - W \]

CureVac

Interessant ist der Fall von CureVac. Die Aktien sind nach einer Wirksamkeitsstudie eingebrochen weil die Wirksamkeit von 47% deutlich niedriger war als bei der Konkurrenz.

Eine Wirksamkeit von 47% bedeutet, dass auf 100 Infizierte in der Kontrollgruppe, 53 in der Experimentalgruppe kommen. Das ist nicht so schlecht wie sich 47% anhört. CureVac ist also durchaus wirksam, es ist viel besser CureVac zu impfen als nicht zu impfen. Jede positive Wirksamkeit ist gut, nur wenn die Wirksamkeit bei 0% liegt, bringt die Impfung nichts.

Die Kosten für die Impfung müsste man gegenrechnen, momentan gehen wir davon aus, dass es keine Kosten gibt. Auch den Gewinn einer Nicht-Erkrankung eines Menschen müsste man quantifzieren. Und natürlich ist eine höhere Wirksamkeit stests wünschenswert. Aber das bedeutet nicht automatisch, dass 47% absolut gesehen schlecht ist, eben nur relativ.

Anzahl Infizierter vorgegeben

Kennt man die Anzahl der Infizierten und die Wirksamkeit, lässt sich auch berechnen wie viele Personen in der Experimentalgruppe und Kontrollgruppe krank geworden sind:

\[K + E = I\]

\[(1 - E/K) 100 = W\]

\[(1 - (I-K)/K) 100 = W\]

\[(K-I+K) 100 = WK\] \[200K-100I = WK\] \[200K-WK = 100I\] \[K(200-W) = 100I\] \[K = 100I/(200-W)\] \[E = I - K\]